sábado, 7 de abril de 2012

Triángulos rectángulos. Teoremas.

Teorema del cateto.
Este teorema dice que en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.


a -> hipotenusa


b y c -> catetos


m -> proyección del cateto b sobre la hipotenusa


n -> proyección del cateto c sobre la hipotenusa





E
Es decir:  b²= a · m
                 c²= a · n

Cuando el triángulo es acutángulo la fórmula sería la siguiente (por ejemplo):
c² < a · m

Cuando es obtusángulo sería esta formula (por ejemplo):
c² > a · m


Teorema de la altura.

Este teorema dice que en un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Otra forma de enunciarlo es diciendo que el cuadrado de la altura que descansa sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Entonces la fórmula sería: h² = n · m


Teorema de Pitágoras generalizado.

El Teorema de Pitágoras, válido sólo para los triángulos rectángulos, nos da el valor del cuadrado del lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) en función de los otros dos lados (catetos).
Para triángulos no rectángulos, se puede hallar también el valor del cuadrado de un lado, por aplicación de un resultado que se conoce con el nombre de Teorema Generalizado de Pitágoras.
El teorema generalizado de Pitágoras, se puede aplicar a cualquier triángulo, sea o no rectángulo. Dicho teorema (generalizado), para el caso particular de un triángulo rectángulo, coincide con el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos, por ser una generalización del mismo.
Hay dos casos, según que el lado se oponga a un ángulo agudo o a un ángulo obtuso.

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo:
Sea un triángulo acutángulo cualquiera. Para hallar el cuadrado de uno de sus lados, por ejemplo el lado "a" -opuesto al vértice A-, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. 
En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c" y se denota por "m" la proyección de "b" sobre "c".
Como se observa en la figura anterior, dicha altura divide el triángulo ABC en dos triángulos rectángulos: ADC y CDB. 
Por ser CDB triángulo rectángulo, podemos aplicarle el teorema de Pitágoras:
a2 = h2 + (c - m)2 = h2 + c2 + m2 - 2 cm
Como ADC también es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras:
h2 = b2 - m2
Sustituyendo, el segundo resultado obtenido, en la primera expresión resulta:
a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 - 2 cm =  b2  + c2 - 2 cm
a2 =  b2  + c2 - 2 cm

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:

Sea un triángulo obtusángulo cualquiera. Para hallar el cuadrado de lado opuesto al ángulo obtuso, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c" y se denota por "m" la proyección de "b" sobre "c".
Como se ve en la figura anterior, al trazar la altura, aparecen dos triángulos rectángulos, CDA y CDB, a los que podremos aplicar el teorema de Pitágoras.
Por ser CDB triángulo rectángulo, y por el teorema de Pitágoras:
a2 = h2 + (c + m)2 = h2 + c2 + m2 + 2 cm
Como CDA también es un triángulo rectángulo, y otra vez, por el teorema de Pitágoras:
b2 = h2 + m2   ⇒     h2 = b2 - m2
Sustituyendo, el segundo resultado obtenido, en la primera expresión resulta:
a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 + 2 cm =  b2  + c2 + 2 cm
a2 =  b2  + c2 + 2 cm






 




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