Este teorema dice que en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
a -> hipotenusa
b y c -> catetos
m -> proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n -> proyección del cateto c sobre la hipotenusa
E
Es decir: b²= a · m
c²= a · n
Cuando el triángulo es acutángulo la fórmula sería la siguiente (por ejemplo):
c² < a · m
Cuando es obtusángulo sería esta formula (por ejemplo):
c² > a · m
Teorema de la altura.
Este teorema dice que en un triángulo rectángulo, la altura relativa a la
hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
Otra forma de enunciarlo es diciendo que el cuadrado de la altura que descansa sobre la
hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
Entonces la fórmula sería: h² = n · m
Teorema de Pitágoras generalizado.
El Teorema de Pitágoras, válido sólo para los triángulos rectángulos, nos
da el valor del cuadrado del lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) en
función de los otros dos lados (catetos).
Para triángulos no rectángulos, se puede hallar también el valor del
cuadrado de un lado, por aplicación de un resultado que se conoce con el nombre
de Teorema Generalizado de Pitágoras.
El teorema generalizado de Pitágoras, se puede aplicar a cualquier triángulo,
sea o no rectángulo. Dicho teorema (generalizado), para el caso particular de
un triángulo rectángulo, coincide con el teorema de Pitágoras para triángulos
rectángulos, por ser una generalización del mismo.
Hay dos casos, según que el lado se oponga a un ángulo agudo o a un ángulo
obtuso.
Cuadrado del lado opuesto a un ángulo
agudo:
Sea un triángulo acutángulo cualquiera. Para hallar el cuadrado de uno de
sus lados, por ejemplo el lado "a" -opuesto al vértice A-, trazaremos
la altura sobre cualquiera de los otros dos lados.
En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c"
y se denota por "m" la proyección de "b" sobre
"c".
Por ser CDB triángulo rectángulo, podemos aplicarle el teorema de Pitágoras:
a2 = h2 + (c - m)2 = h2 + c2 + m2 - 2 cm
Como ADC también es un triángulo
rectángulo, por el teorema de Pitágoras:
h2 = b2 - m2
Sustituyendo, el segundo
resultado obtenido, en la primera expresión resulta:
a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 - 2 cm = b2
+ c2 - 2 cm
a2 = b2 + c2 -
2 cm
Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:
Sea un triángulo obtusángulo
cualquiera. Para hallar el cuadrado de lado opuesto al ángulo obtuso,
trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. En la siguiente
figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c" y se denota por
"m" la proyección de "b" sobre "c".Por ser CDB triángulo rectángulo, y por el teorema de Pitágoras:
a2 = h2 + (c + m)2 = h2 + c2 + m2 + 2 cm
Como CDA también es un triángulo
rectángulo, y otra vez, por el teorema de Pitágoras:
b2 = h2 + m2 ⇒
h2 = b2 - m2
Sustituyendo, el segundo
resultado obtenido, en la primera expresión resulta:
a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 + 2 cm = b2
+ c2 + 2 cm
a2 = b2 + c2 + 2 cm
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