domingo, 8 de abril de 2012

Ejemplo de escala 2:

.- ¿A qué escala está dibujado  el plano de la fachada de un edificio de 30 metros de 
altura, si en el dibujo mide 15 cm? Si dibujo el plano del mismo edificio a escala 1:100 
¿el dibujo será mayor o menor que el anterior? ¿por qué?
30 m en la realidad son 15 cm en el dibujo
 30 m = 3000 cm
15 cm ------------ 3000 cm
 1 cm -------------   x cm
x=200
La escala es 1:200
Si la escala fuera 1:100, el dibujo sería mayor, ya que , por ejemplo, los 30 m se 
representarían en el dibujo con 30 cm (el doble que con la otra escala)

EJERCICIOS ESCALAS
1.- ¿Cuál es la escala en la que está construido un mapa sabiendo que 80 km en la
realidad vienen representados por 2 cm en el mapa?

1.-  80 km en la realidad------- 2 cm en el mapa
80 km = 8.000.000 cm
luego:  2 cm------------------- 8.000.000cm
1 cm------------------- x cm Þ x = 4.000.000
La escala del mapa es  1 : 4.000.000


Ejemplo de teorema de triángulo:




Teorema de Pitágoras


EJEMPLO DE SEMEJANZA:



 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
dibujo
solución




sábado, 7 de abril de 2012

Aplicaciones.

Escalas.

Los mapas o planos de viviendas suelen indicar la escala de esta manera ->1:2500000
en algún mapa de carreteras ->1:250
en el plano de una vivienda.
Para saber aplicar las escalas a longitudes áreas y volúmenes solo hay que recordar las siguientes fórmulas:
I= distancia real/ distancia en plano
I²= área real/ área en plano
I³= volumen real/ volumen en maqueta

Tipos de escalas
Existen tres tipos de escalas llamadas:
§  Escala natural: Es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la mayoría de piezas que se mecanizan estén dibujadas a escala natural; es decir, escala 1:1.
§  Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piecerío (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas (E:1:50), o mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000. Para conocer el valor real de una dimensión hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador.
§  Escala de ampliación: el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano se utiliza la escala de ampliación. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son: E.2:1 o E.10:1

Escala gráfica, numérica y unidad por unidad
§  La escala numérica representa la relación entre el valor de la representación (el número a la izquierda del símbolo ":") y el valor de la realidad (el número a la derecha del símbolo ":") y un ejemplo de ello sería 1:100.000, lo que indica que una unidad cualquiera en el plano representa 100.000 de esas mismas unidades en la realidad, dicho de otro modo, dos puntos que en el plano se encuentren a 1 cm estarán en la realidad a 100.000 cm, si están en el plano a 1 metro en la realidad estarán a 100.000 metros, y así con cualquier unidad que tomemos.
§  La escala unidad por unidad es la igualdad expresa de dos longitudes: la del mapa (a la izquierda del signo "=") y la de la realidad (a la derecha del signo "="). Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km; 2 cm = 500 m, etc.
§  La escala gráfica es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, donde cada segmento muestra la relación entre la longitud de la representación y el de la realidad. Un ejemplo de ello sería::::0_________10 km


Medir distancias inaccesibles.
La semejanza se aplica al cálculo de distancias inaccesibles, por ejemplo, se puede calcular el radio del sol  aplicando semejanza en un eclipse total, la distancia a un barco o a un punto inaccesible o alturas a partir de su sombra y de la de otro objeto cuya altura se puede medir.




Razón de semejanza.

Razón de semejanza: cuando dos segmentos, figuras o cuerpos semejantes, es el cociente que surge de dividir la mayor longitud, área o volumen entre el menor.


Razón de semejanza en longitudes.


Ejemplo: (La figura superior es A y la inferior es B)
Segmento AB=5cm; segmento A'B'=10 cm
Razón= 10/5= 2

Razón de semejanza en áreas.

Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el área de B y el área de A es el cuadrado de la razón de semejanza de la figura B sobre la A. 

razón²= área mayor/ área menor

Ejemplo: Área de A= 12 cm²; área de B= 48 cm². Calcula la razón de semejanza.
razón²= área de B/ área de A
razón²= 48/12
razón²= 4
razón= √4= 2

Razón de semejanza en volúmenes.

Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el volumen de B y el de A es el cubo de la razón de semejanza de la figura B sobre la A. 

razón³= volumen mayor/volumen menor

Ejemplo:  Volumen de A= 8 cm³volumen de B= 64 cm³. Calcula la razón de semejanza.
razón³volumen de B/ volumen de A
razón³= 64/8
razón³= 8
razón= ∛8= 2 




Triángulos rectángulos. Teoremas.

Teorema del cateto.
Este teorema dice que en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.


a -> hipotenusa


b y c -> catetos


m -> proyección del cateto b sobre la hipotenusa


n -> proyección del cateto c sobre la hipotenusa





E
Es decir:  b²= a · m
                 c²= a · n

Cuando el triángulo es acutángulo la fórmula sería la siguiente (por ejemplo):
c² < a · m

Cuando es obtusángulo sería esta formula (por ejemplo):
c² > a · m


Teorema de la altura.

Este teorema dice que en un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Otra forma de enunciarlo es diciendo que el cuadrado de la altura que descansa sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Entonces la fórmula sería: h² = n · m


Teorema de Pitágoras generalizado.

El Teorema de Pitágoras, válido sólo para los triángulos rectángulos, nos da el valor del cuadrado del lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) en función de los otros dos lados (catetos).
Para triángulos no rectángulos, se puede hallar también el valor del cuadrado de un lado, por aplicación de un resultado que se conoce con el nombre de Teorema Generalizado de Pitágoras.
El teorema generalizado de Pitágoras, se puede aplicar a cualquier triángulo, sea o no rectángulo. Dicho teorema (generalizado), para el caso particular de un triángulo rectángulo, coincide con el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos, por ser una generalización del mismo.
Hay dos casos, según que el lado se oponga a un ángulo agudo o a un ángulo obtuso.

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo:
Sea un triángulo acutángulo cualquiera. Para hallar el cuadrado de uno de sus lados, por ejemplo el lado "a" -opuesto al vértice A-, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. 
En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c" y se denota por "m" la proyección de "b" sobre "c".
Como se observa en la figura anterior, dicha altura divide el triángulo ABC en dos triángulos rectángulos: ADC y CDB. 
Por ser CDB triángulo rectángulo, podemos aplicarle el teorema de Pitágoras:
a2 = h2 + (c - m)2 = h2 + c2 + m2 - 2 cm
Como ADC también es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras:
h2 = b2 - m2
Sustituyendo, el segundo resultado obtenido, en la primera expresión resulta:
a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 - 2 cm =  b2  + c2 - 2 cm
a2 =  b2  + c2 - 2 cm

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:

Sea un triángulo obtusángulo cualquiera. Para hallar el cuadrado de lado opuesto al ángulo obtuso, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c" y se denota por "m" la proyección de "b" sobre "c".
Como se ve en la figura anterior, al trazar la altura, aparecen dos triángulos rectángulos, CDA y CDB, a los que podremos aplicar el teorema de Pitágoras.
Por ser CDB triángulo rectángulo, y por el teorema de Pitágoras:
a2 = h2 + (c + m)2 = h2 + c2 + m2 + 2 cm
Como CDA también es un triángulo rectángulo, y otra vez, por el teorema de Pitágoras:
b2 = h2 + m2   ⇒     h2 = b2 - m2
Sustituyendo, el segundo resultado obtenido, en la primera expresión resulta:
a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 + 2 cm =  b2  + c2 + 2 cm
a2 =  b2  + c2 + 2 cm






 




viernes, 6 de abril de 2012

Semejanza.

Figuras semejantes.

De manera intuitiva, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente.
Matematicamente, dos figuras semejantes cumplen:

1.     Los ángulos correspondientes son iguales (misma forma).
2.     Los segmentos correspondientes son proporcionales.

Las figuras semejantes son las que mediante el zoom (homotecias) y movimientos (giros, traslaciones y simetrías) pueden coincidir.

Un polígono está determinado por sus lados y ángulos, por tanto para que dos polígonos sean semejantes basta con que los lados homólogos sean proporcionales (con el zoom se multiplican todos los lados por el mismo número) y sus ángulos iguales (las homotecias, los giros, las traslaciones y simetrías no modifican los ángulos de las figuras)
Teorema de Tales.
Para que dos polígonos sean semejantes se han de cumplir dos condiciones
  1. Ángulos iguales
  2. Lados proporcionales
Pero en los triángulos basta con que se de una condición.

Teorema de Tales: Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.


Teorema de Tales en triángulos: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Triángulos semejantes. Criterios.
Dos triángulos son semejantes si cumplen alguno de los siguientes criterios llamados criterios de semejanza:

1. Ángulos iguales (con dos basta).
2. Un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales.
3. Lados proporcionales.